Python में इनवर्स हाइपरबोलिक साइन (arcsinh) निकालें

NumPy का numpy.arcsinh() फंक्शन इनवर्स हाइपरबोलिक साइन (आर्कसाइनएच) निकालता है। प्रत्येक x के लिए अनंत z जैसे कि sinh(z) = x। कन्वेंशन: काल्पनिक भाग [-π/2, π/2]। वास्तविक इनपुट के लिए वास्तविक आउटपुट।

सिंटैक्स और पैरामीटर्स

numpy.arcsinh(x, /, out=None, *, where=True, casting='same_kind', order='K', dtype=None, subok=True[, signature, extobj])

• x: इनपुट ऐरे।
• out, where: वैकल्पिक।
• वापसी: इनपुट के समान आकार का ऐरे।

गणितीय गुण

• वास्तविक डोमेन: (-∞, ∞) — सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित।
• वास्तविक रेंज: (-∞, ∞)।
• पहचान: arcsinh(x) = ln(x + √(x² + 1))।
• विषम फंक्शन: arcsinh(-x) = -arcsinh(x)।
<-b>इसे asinh या sinh⁻¹ भी कहते हैं।

विभिन्न मानों के लिए उदाहरण

import numpy as np

print("इनवर्स हाइपरबोलिक साइन मान प्राप्त कर रहे हैं...")

# कॉम्प्लेक्स: π * 1j
print("\narcsinh(π * 1j):", np.arcsinh(np.pi * 1j))

# 90° = π/2
print("\narcsinh(π/2):", np.arcsinh(np.pi / 2.))

# 60° = π/3
print("\narcsinh(π/3):", np.arcsinh(np.pi / 3.))

# 45° = π/4
print("\narcsinh(π/4):", np.arcsinh(np.pi / 4.))

# 30° = π/6
print("\narcsinh(π/6):", np.arcsinh(np.pi / 6.))

# 0
print("\narcsinh(0):", np.arcsinh(0))

# e (यूलर संख्या)
print("\narcsinh(e):", np.arcsinh(np.e))

आउटपुट

इनवर्स हाइपरबोलिक साइन मान प्राप्त कर रहे हैं...
arcsinh(π * 1j): (1.8115262724608532+1.5707963267948966j)
arcsinh(π/2): 1.233403117511217
arcsinh(π/3): 0.9143566553928859
arcsinh(π/4): 0.7212254887267798
arcsinh(π/6): 0.5022189850346115
arcsinh(0): 0.0
arcsinh(e): 1.725382558852315

व्याख्या

बड़े x के लिए एसिम्प्टोटिक व्यवहार

# बड़े x के लिए: arcsinh(x) ≈ sign(x) * ln(2|x|)
x = 1e10
print("arcsinh(1e10):", np.arcsinh(x))
print("ln(2e10):", np.log(2e10))
# दोनों ≈ 24.33

संबंधित फंक्शन्स

# अन्य इनवर्स हाइपरबोलिक
print("arccosh(2):", np.arccosh(2))      # x ≥ 1
print("arctanh(0.5):", np.arctanh(0.5))  # |x| < 1

# फॉरवर्ड
print("sinh(1):", np.sinh(1))
print("cosh(1):", np.cosh(1))
print("tanh(1):", np.tanh(1))

उपयोग के मामले

• न्यूरल नेटवर्क एक्टिवेशन (sinh/arcsinh परिवार)।
• रिलेटिविटी: रैपिडिटी η = arcsinh(v/c)।
• डेटा ट्रांसफॉर्मेशन: लॉग-जैसे कम्प्रेशन लेकिन शून्य पर परिभाषित।
• सिग्नल प्रोसेसिंग: फेज अनरैपिंग।

नोट

arcsinh सभी वास्तविक x के लिए परिभाषित है (डोमेन ℝ), जबकि arccosh केवल x ≥ 1 और arctanh केवल |x| < 1 के लिए।