इस समस्या में, हमें एक संख्या n दी गई है, जिसे श्रृंखला 1, 3, 6, 10… (त्रिकोणीय संख्या) के तत्वों का n दिया गया है। हमारा काम श्रृंखला के योग की गणना के लिए एक कार्यक्रम बनाना है।
आइए योग की गणना करने से पहले त्रिकोणीय संख्याओं पर ध्यान दें।
त्रिभुज संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें त्रिभुज के रूप में दर्शाया जा सकता है।
एक त्रिभुज इस प्रकार बनता है कि पहली पंक्ति में एक बिंदु होता है, दूसरे में दो बिंदु होते हैं, इत्यादि।
उदाहरण
समस्या को समझने के लिए एक उदाहरण लेते हैं,
इनपुट
n = 4
आउटपुट
स्पष्टीकरण − योग =T1 + T2 + T3 + T4 =1 + 3 + 6 + 10 =20
इस समस्या को हल करने का एक सरल तरीका सभी n त्रिभुज संख्याओं को खोजना है। और उन्हें एक-एक करके योग चर में जोड़ते जा रहे हैं।
एल्गोरिदम
Initialise sum = 0. Step 1: loop for i = 0 to n. And follow steps 2 and 3 Step 2: for each value of i, calculate the triangular numbers using the formula, t[i] = ∑ i = i*(i+1)/2. Step 3: Update sum value, sum += t[i]. Step 4: return sum.
उदाहरण
हमारे समाधान की कार्यप्रणाली को दर्शाने के लिए कार्यक्रम,
#include <iostream>
using namespace std;
int calcSeriesSum(int n) {
int sum = 0;
for (int i=1; i<=n; i++)
sum += i*(i+1)/2;
return sum;
}
int main() {
int n = 6;
cout<<"Sum of the series 1, 3, 6, 10 ... (Triangular Numbers) is "<<calcSeriesSum(n);
return 0;
} आउटपुट
Sum of the series 1, 3, 6, 10 ... (Triangular Numbers) is 56
यह सबसे प्रभावी समाधान नहीं है क्योंकि इसमें O(n), समय जटिलता लगती है।
योग के लिए प्रत्यक्ष सूत्र का उपयोग करके एक अधिक प्रभावी समाधान है।
यदि Ti i-वें त्रिकोणीय संख्या है। फिर,
T1 =1
टी2 =3
T3 =6
टीएन =एन*(एन+1) /2
सभी त्रिकोणीय संख्याओं का योग होता है
sum = 1 + 3 + 6 + 10 + … sum = T1 + T2 + T3 + … + Tn sum = ∑ (Ti) , i -> 0 to n sum = ∑ (n)(n+1)/2 sum = ½ ∑ n2 + n sum = ½ ∑n^2 + ∑ n sum = ½ [ (n*(n+1)*(2n+1)/6) + (n*(n+1)/2) ] sum = ½ (n*(n+1)/2)*[ (2n+1)/3 + 1 ] sum = ¼ [n*(n+1)]*[(2n+1+3)/3] sum = ¼ [n*(n+1)]*[(2n+4)/3] sum = ¼ [n*(n+1)]*[2(n+2)/3] sum= ⅙ [n*(n+1)*(n+2)]
यह त्रिभुज संख्याओं के योग का सामान्य सूत्र है।
उदाहरण
हमारे समाधान की कार्यप्रणाली को दर्शाने के लिए कार्यक्रम,
#include <iostream>
using namespace std;
int calcSeriesSum(int n) {
return ( ( n*(n + 1)*(n + 2) )/6);
}
int main() {
int n = 6;
cout<<"Sum of the series 1, 3, 6, 10 ... (Triangular Numbers) is "<<calcSeriesSum(n);
return 0;
} आउटपुट
Sum of the series 1, 3, 6, 10 ... (Triangular Numbers) is 56