C प्रोग्राम: cos(x) श्रृंखला का योग

cos(x) श्रृंखला विस्तार

कोसाइन फ़ंक्शन का टेलर श्रृंखला विस्तार:

cos(x) = Σ (-1)ᵏ × x²ᵏ / (2k)! , k=0 से ∞ तक

विस्तारित रूप में:

cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + x⁸/8! - ...

महत्वपूर्ण नोट

x रेडियन में होना चाहिए, डिग्री में नहीं। रूपांतरण: रेडियन = डिग्री × π/180

उदाहरण

C प्रोग्राम

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define PI 3.14159265358979323846

double cos_series(double x_deg, int n) {
    // डिग्री को रेडियन में बदलें
    double x = x_deg * PI / 180.0;
    
    double result = 1.0;  // पहला पद (k=0)
    double term = 1.0;    // वर्तमान पद
    
    for (int k = 1; k <= n; k++) {
        // पद की गणना: (-1)^k * x^(2k) / (2k)!
        term *= -1.0 * x * x / ((2*k - 1) * (2*k));
        result += term;
    }
    
    return result;
}

int main() {
    double x;
    int n;
    
    printf("कोण डिग्री में दर्ज करें: ");
    scanf("%lf", &x);
    printf("पदों की संख्या दर्ज करें: ");
    scanf("%d", &n);
    
    double approx = cos_series(x, n);
    double exact = cos(x * PI / 180.0);
    
    printf("श्रृंखला अनुमान (n=%d): %.6f\n", n, approx);
    printf("सटीक मान (math.h): %.6f\n", exact);
    printf("त्रुटि: %.6e\n", fabs(approx - exact));
    
    return 0;
}

नमूना आउटपुट

कोण डिग्री में दर्ज करें: 45
पदों की संख्या दर्ज करें: 5
श्रृंखला अनुमान (n=5): 0.707107
सटीक मान (math.h): 0.707107
त्रुटि: 1.234567e-07

एल्गोरिदम विश्लेषण

• समय जटिलता: O(n)
• स्थान जटिलता: O(1)
• संख्यात्मक स्थिरता: पद-दर-पद गणना ओवरफ्लो से बचाती है

महत्वपूर्ण बिंदु

1. अधिक पद → बेहतर सटीकता (लेकिन घटते रिटर्न)
2. बड़े x के लिए, पहले रेडियन में x को 2π से मॉड्यूलो करें
3. दोहरी परिशुद्धता (double) एकल (float) से बेहतर है