C प्रोग्राम: द्विपद गुणांक तालिका

द्विपद गुणांक क्या है?

द्विपद गुणांक C(n, k) या ⁿCₖ, n वस्तुओं में से k वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या दर्शाता है।

सूत्र: ⁿCₖ = n! / (k! × (n-k)!)

जहां n ≥ k ≥ 0

उदाहरण

C(9, 2) = 9! / (2! × 7!) = (9 × 8) / (2 × 1) = 36

पास्कल त्रिकोण / द्विपद गुणांक तालिका

इनपुट: value = 5

 0   1
 1   1   1
 2   1   2   1
 3   1   3   3   1
 4   1   4   6   4   1
 5   1   5  10  10   5   1

कुशल पुनरावृत्ति संबंध

फैक्टोरियल की गणना किए बिना, हम उपयोग करते हैं:

C(n, k) = C(n, k-1) × (n - k + 1) / k

यह O(1) स्थान और O(n²) समय में तालिका बनाता है।

C प्रोग्राम

#include <stdio.h>

void bin_table(int val) {
    for (int i = 0; i <= val; i++) {
        printf("%2d", i);
        int num = 1;
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            if (i != 0 && j != 0)
                num = num * (i - j + 1) / j;
            printf("%4d", num);
        }
        printf("\n");
    }
}

int main() {
    int value;
    printf("मान दर्ज करें (0-20): ");
    scanf("%d", &value);
    
    if (value < 0 || value > 20) {
        printf("मान 0 से 20 के बीच होना चाहिए\n");
        return 1;
    }
    
    bin_table(value);
    return 0;
}

आउटपुट (value = 5 के लिए)

 0   1
 1   1   1
 2   1   2   1
 3   1   3   3   1
 4   1   4   6   4   1
 5   1   5  10  10   5   1

अनुप्रयोग

• संभाव्यता सिद्धांत - द्विपद वितरण
• कॉम्बिनेटोरिक्स - संयोजन गणना
• बीजगणित - (a+b)ⁿ का विस्तार
• कंप्यूटर विज्ञान - एल्गोरिदम विश्लेषण

बड़े मानों के लिए अनुकूलन

// long long का उपयोग करके बड़े मानों के लिए
long long binom(int n, int k) {
    if (k > n - k) k = n - k;
    long long res = 1;
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        res = res * (n - i) / (i + 1);
    }
    return res;
}