Python में मैट्रिक्स स्टैक का मूर-पेनरोज़ सूडोइनवर्स निकालें

NumPy का numpy.linalg.pinv() फंक्शन मैट्रिक्स या मैट्रिक्स के स्टैक का मूर-पेनरोज़ सूडोइनवर्स (Moore-Penrose pseudoinverse) निकालता है। यह सिंगुलर वैल्यू डीकंपोजिशन (SVD) का उपयोग करता है और गैर-वर्ग या सिंगुलर मैट्रिक्स के लिए भी काम करता है।

सिंटैक्स और पैरामीटर्स

numpy.linalg.pinv(a, rcond=1e-15, hermitian=False)

• a: मैट्रिक्स या मैट्रिक्स का स्टैक (..., M, N) आकार का।
• rcond: छोटे सिंगुलर मानों के लिए कटऑफ। डिफ़ॉल्ट 1e-15।
• hermitian: यदि True, मैट्रिक्स हर्मिटियन माना जाता है (तेज़ गणना)।
• वापसी: सूडोइनवर्स, आकार (..., N, M)।

मूर-पेनरोज़ सूडोइनवर्स के गुण

मैट्रिक्स A के लिए सूडोइनवर्स A⁺ निम्न शर्तें पूरी करता है:

1. A A⁺ A = A
2. A⁺ A A⁺ = A⁺
3. (A A⁺)ᴴ = A A⁺ (हर्मिटियन)
4. (A⁺ A)ᴴ = A⁺ A (हर्मिटियन)

उदाहरण: 3 मैट्रिक्स का स्टैक

import numpy as np

# 3 मैट्रिक्स का स्टैक: आकार (3, 2, 2)
arr = np.array([
    [[1, 2], [3, 4]],   # मैट्रिक्स 1
    [[1, 2], [2, 1]],   # मैट्रिक्स 2
    [[1, 3], [3, 1]]    # मैट्रिक्स 3
])

print("मूल स्टैक आकार:", arr.shape)
print("मैट्रिक्स 1:\n", arr[0])
print("मैट्रिक्स 2:\n", arr[1])
print("मैट्रिक्स 3:\n", arr[2])

# स्टैक का सूडोइनवर्स
pinv_stack = np.linalg.pinv(arr)
print("\nसूडोइनवर्स स्टैक आकार:", pinv_stack.shape)
print("सूडोइनवर्स 1:\n", pinv_stack[0])
print("सूडोइनवर्स 2:\n", pinv_stack[1])
print("सूडोइनवर्स 3:\n", pinv_stack[2])

आउटपुट

मूल स्टैक आकार: (3, 2, 2)
मैट्रिक्स 1:
 [[1 2]
 [3 4]]
मैट्रिक्स 2:
 [[1 2]
 [2 1]]
मैट्रिक्स 3:
 [[1 3]
 [3 1]]

सूडोइनवर्स स्टैक आकार: (3, 2, 2)
सूडोइनवर्स 1:
 [[-2.   1. ]
 [ 1.5 -0.5]]
सूडोइनवर्स 2:
 [[-0.33333333  0.66666667]
 [ 0.66666667 -0.33333333]]
सूडोइनवर्स 3:
 [[-0.125  0.375]
 [ 0.375 -0.125]]

सत्यापन

# प्रत्येक मैट्रिक्स के लिए A @ A⁺ @ A ≈ A जांचें
for i in range(3):
    A = arr[i]
    A_pinv = pinv_stack[i]
    check = A @ A_pinv @ A
    print(f"मैट्रिक्स {i+1}: A @ A⁺ @ A ≈ A ? {np.allclose(check, A)}")

pinv बनाम inv

rcond पैरामीटर

# छोटे सिंगुलर मानों को शून्य मानने के लिए थ्रेशोल्ड
A = np.array([[1, 2], [2, 4]])  # रैंक 1 मैट्रिक्स
print("डिफ़ॉल्ट rcond:", np.linalg.pinv(A))
print("rcond=1e-10:", np.linalg.pinv(A, rcond=1e-10))
print("rcond=0.1:", np.linalg.pinv(A, rcond=0.1))  # अधिक आक्रामक

उपयोग के मामले

• ओवरडिटरमाइंड सिस्टम (लीस्ट स्क्वेयर्स समाधान)।
• अंडरडिटरमाइंड सिस्टम (न्यूनतम नॉर्म समाधान)।
• सिंगुलर या खराब कंडीशन वाले मैट्रिक्स।
• मशीन लर्निंग में रिज रिग्रेशन।
• कंप्यूटर विजन में होमोग्राफी अनुमान।