जावा प्रोग्राम: पहले n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग

उदाहरण

import java.io.*; 
import java.util.*; 

public class Demo { 
    public static int sumOfSquares(int val) { 
        return (val * (val + 1) / 2) * (2 * val + 1) / 3; 
    } 
    
    public static void main(String[] args) { 
        int val = 8; 
        System.out.println("पहले 8 प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग है: "); 
        System.out.println(sumOfSquares(val)); 
    } 
}

आउटपुट

पहले 8 प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग है 204

व्याख्या: Demo क्लास में 'sumOfSquares' नामक एक फंक्शन होता है। यह फंक्शन पहले 'n' प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने के लिए उपयोग किया जाता है। यह संख्याओं का योग लौटाता है। मुख्य फंक्शन में, 'n' के लिए एक मान परिभाषित किया जाता है और इस 'n' मान के साथ फंक्शन को कॉल किया जाता है। प्रासंगिक आउटपुट कंसोल पर प्रदर्शित होता है।

गणितीय फॉर्मूला:

Σ k² = n(n+1)(2n+1) / 6   k=1 से n तक

n=8 के लिए: 8×9×17/6 = 1224/6 = 204 ✓

सत्यापन:

1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8²
= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64
= 204 ✓

कार्यान्वयन विकल्प:

// 1. फॉर्मूला (O(1)) - ओवरफ्लो का ध्यान रखें
public static long sumOfSquaresFormula(long n) {
    return n * (n + 1) * (2 * n + 1) / 6;
}

// 2. लूप (O(n)) - सरल, कोई ओवरफ्लो चिंता नहीं छोटे n के लिए
public static long sumOfSquaresLoop(int n) {
    long sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) sum += 1L * i * i;
    return sum;
}

// 3. स्ट्रीम (Java 8+)
public static long sumOfSquaresStream(int n) {
    return LongStream.rangeClosed(1, n).map(i -> i * i).sum();
}

// 4. BigInteger के साथ (बहुत बड़े n के लिए)
public static BigInteger sumOfSquaresBig(int n) {
    BigInteger N = BigInteger.valueOf(n);
    return N.multiply(N.add(BigInteger.ONE))
            .multiply(BigInteger.valueOf(2).multiply(N).add(BigInteger.ONE))
            .divide(BigInteger.valueOf(6));
}

ओवरफ्लो विचार:

• int: n ≤ 181 तक सुरक्षित (181²×182×363/6 ≈ 2.1e9)
• long: n ≤ 264,2245 तक सुरक्षित
• BigInteger: कोई सीमा नहीं

संबंधित फॉर्मूला:

Σ k     = n(n+1)/2
Σ k²    = n(n+1)(2n+1)/6
Σ k³    = [n(n+1)/2]² = (Σ k)²
Σ k⁴    = n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)/30