प्राइम (न्यूनतम स्पैनिंग ट्री) एमएसटी एल्गोरिथम

एक जुड़ा हुआ ग्राफ G(V,E) है और प्रत्येक किनारे के लिए वजन या लागत दी गई है। प्राइम का एल्गोरिदम ग्राफ जी से न्यूनतम फैले हुए पेड़ को ढूंढेगा।

यह वृक्ष दृष्टिकोण बढ़ रहा है। इस एल्गोरिदम को पेड़ शुरू करने के लिए बीज मूल्य की आवश्यकता है। बीज के शीर्ष को पूरा पेड़ बनाने के लिए उगाया जाता है।

दो सेटों का उपयोग करके समस्या का समाधान किया जाएगा। एक सेट में पहले से चुने गए नोड्स होते हैं, और दूसरे सेट में वह आइटम होता है जिसे अभी तक नहीं माना जाता है। बीज के शीर्ष से, यह न्यूनतम किनारे की लागत के आधार पर आसन्न कोने लेता है, इस प्रकार यह एक-एक करके नोड्स लेकर पेड़ को बढ़ाता है।

• इस समस्या की समय जटिलता O(V2) है। यहाँ V शीर्षों की संख्या है।

इनपुट -आसन्नता सूची -

आउटपुट -

(0)---(1|1) (0)---(2|3) (0)---(3|4)
(1)---(0|1) (1)---(4|2)
(2)---(0|3)
(3)---(0|4)
(4)---(1|2) (4)---(5|2)
(5)---(4|2) (5)---(6|3)
(6)---(5|3)

एल्गोरिदम

prims(g:Graph, t:tree, start)

इनपुट - ग्राफ़ g, एक खाली पेड़ और बीज का शीर्ष नाम 'स्टार्ट' आउटपुट:किनारों को जोड़ने के बाद का पेड़।

Begin
   define two sets as usedVert, unusedVert
   usedVert[0] := start and unusedVert[0] := φ
   for all vertices except start do
      usedVert[i] := φ
      unusedVert[i] := i //add all vertices in unused list
   done
   while number of vertices in usedVert ≠ V do //V is number of total nodes
      min := ∞
      for all vertices of usedVert array do
         for all vertices of the graph do
            if min > cost[i,j] AND i ≠ j then
               min := cost[i,j]
               ed := edge between i and j, and cost of ed := min
            done
         done
         unusedVert[destination of ed] := φ
         add edge ed into the tree t
         add source of ed into usedVert
   done
End

उदाहरण(C++)

#include<iostream>
#define V 7
#define INF 999
using namespace std;
//Cost matrix of the graph
int costMat[V][V] = {
   {0, 1, 3, 4, INF, 5, INF},
   {1, 0, INF, 7, 2, INF, INF},
   {3, INF, 0, INF, 8, INF, INF},
   {4, 7, INF, 0, INF, INF, INF},
   {INF, 2, 8, INF, 0, 2, 4},
   {5, INF, INF, INF, 2, 0, 3},
   {INF, INF, INF, INF, 4, 3, 0}
};
typedef struct{
   int u, v, cost;
}edge;
class Tree{
   int n;
   edge edges[V-1]; //as a tree has vertex-1 edges
   public:
   Tree(){
      n = 0;
   }
   void addEdge(edge e){
      edges[n] = e; //add edge e into the tree
      n++;
   }
   void printEdges(){ //print edge, cost and total cost
      int tCost = 0;
      for(int i = 0; i<n; i++){
         cout << "Edge: " << char(edges[i].u+'A') < "--" << char(edges[i].v+'A');
         cout << " And Cost: " << edges[i].cost << endl;
         tCost += edges[i].cost;
      }
      cout << "Total Cost: " << tCost << endl;
   }
   friend void prims(Tree &tre, int start);
};
void prims(Tree &tr, int start){
   int usedVert[V], unusedVert[V];
   int i, j, min, p;
   edge ed;
   //initialize
   usedVert[0] = start; p = 1;
   unusedVert[0] = -1;//-1 indicates the place is empty
   for(i = 1; i<V; i++){
      usedVert[i] = -1;//all places except first is empty
      unusedVert[i] = i;//fill with vertices
   }
   tr.n = 0;
   //get edges and add to tree
   while(p != V){ //p is number of vertices in usedVert array
      min = INF;
      for(i = 0; i<p; i++){
         for(j = 0; j<V; j++){
            if(unusedVert[j] != -1){
               if(min > costMat[i][j] && costMat[i][j] != 0){
                  //find the edge with minimum cost
                  //such that u is considered and v is not considered yet
                  min = costMat[i][j];
                  ed.u = i; ed.v = j; ed.cost = min;
               }
            }
         }
      }
      unusedVert[ed.v] = -1;//delete v from unusedVertex
      tr.addEdge(ed);
      usedVert[p] = ed.u; p++;//add u to usedVertex
   }
}
main(){
   Tree tr;
   prims(tr, 0); //starting node 0
   tr.printEdges();
}

आउटपुट

(0)---(1|1) (0)---(2|3) (0)---(3|4)
(1)---(0|1) (1)---(4|2)
(2)---(0|3)
(3)---(0|4)
(4)---(1|2) (4)---(5|2)
(5)---(4|2) (5)---(6|3)
(6)---(5|3)