क्रुस्कल (न्यूनतम फैले हुए पेड़) एमएसटी एल्गोरिथम

एक जुड़ा हुआ ग्राफ G(V,E) है और प्रत्येक किनारे के लिए वजन या लागत दी गई है। क्रुस्कल का एल्गोरिथम ग्राफ और लागत का उपयोग करके न्यूनतम फैले हुए पेड़ का पता लगाएगा।

यह मर्ज ट्री अप्रोच है। प्रारंभ में अलग-अलग पेड़ हैं, यह एल्गोरिथम उन किनारों को लेकर उनका विलय करेगा जिनकी लागत न्यूनतम है, और एक ही पेड़ का निर्माण करेंगे।

इस समस्या में, सभी किनारों को सूचीबद्ध किया जाता है, और उनकी लागत के आधार पर क्रमबद्ध किया जाता है। सूची से, न्यूनतम लागत वाले किनारों को निकालकर पेड़ में जोड़ दिया जाता है, और हर एक यह जांचता है कि किनारे का चक्र बनता है या नहीं, यदि यह एक चक्र बनाता है तो किनारे को सूची से हटा दें और अगले किनारे पर जाएं। पी>

• इस एल्गोरिदम की समय जटिलता ओ (ई लॉग ई) या ओ (ई लॉग वी) है, जहां ई किनारों की संख्या है, और वी शिखर की संख्या है।

इनपुट - एडजेंसी मैट्रिक्स

0 1 3 4 ∞ 5 ∞
1 0 ∞ 7 2 ∞ ∞
3 ∞ 0 ∞ 8 ∞ ∞
4 7 ∞ 0 ∞ ∞ ∞
∞ 2 8 ∞ 0 2 4
5 ∞ ∞ ∞ 2 0 3
∞ ∞ ∞ ∞ 4 3 0

आउटपुट -

Edge: B--A And Cost: 1

Edge: E--B And Cost: 2

Edge: F--E And Cost: 2

Edge: C--A And Cost: 3  

Edge: G--F And Cost: 3

Edge: D--A And Cost: 4

Total Cost: 15

एल्गोरिदम

क्रुस्कल(g:ग्राफ़, t:ट्री)

इनपुट − दिया गया ग्राफ g, और एक खाली पेड़ t

आउटपुट − ट्री टी चयनित किनारों के साथ

Begin
   create set for each vertices in graph g
   for each set of vertex u do
      add u in the vertexSet[u]
   done
   sort the edge list.
   count := 0
   while count <= V – 1 do //as tree must have V – 1 edges
      ed := edgeList[count] //take an edge from edge list
      if the starting vertex and ending vertex of ed are in same set then
         merge vertexSet[start] and vertexSet[end]
         add the ed into tree t
      count := count + 1
   done
End

उदाहरण

#include<iostream>
#define V 7
#define INF 999
using namespace std;
//Cost matrix of the graph
int costMat[V][V] = {
   {0, 1, 3, 4, INF, 5, INF},
   {1, 0, INF, 7, 2, INF, INF},
   {3, INF, 0, INF, 8, INF, INF},
   {4, 7, INF, 0, INF, INF, INF},
   {INF, 2, 8, INF, 0, 2, 4},
   {5, INF, INF, INF, 2, 0, 3},
   {INF, INF, INF, INF, 4, 3, 0}
};
typedef struct{
   int u, v, cost;
}edge;
void swapping(edge &e1, edge &e2){
   edge temp;
   temp = e1;
   e1 = e2;
   e2 = temp;
}
class Tree{
   int n;
   edge edges[V-1]; //as a tree has vertex-1 edges
   public:
   Tree(){
      n = 0;
   }
   void addEdge(edge e){
      edges[n] = e; //add edge e into the tree
      n++;
   }
   void printEdges(){ //print edge, cost and total cost
      int tCost = 0;
      for(int i = 0; i<n; i++){
         cout << "Edge: " << char(edges[i].u+'A') << "--" << char(edges[i].v+'A');
         cout << " And Cost: " << edges[i].cost << endl;
         tCost += edges[i].cost;
      }
      cout << "Total Cost: " << tCost << endl;
   }
};
class VSet{
   int n;
   int set[V];//a set can hold maximum V vertices
   public:
   VSet(){
      n = -1;
   }
   void addVertex(int vert){
      set[++n] = vert; //add vertex to the set
   }
   int deleteVertex(){
      return set[n--];
   }
   friend int findVertex(VSet *vertSetArr, int vert);
   friend void merge(VSet &set1, VSet &set2);
};
void merge(VSet &set1, VSet &set2){
   //merge two vertex sets together
   while(set2.n >= 0)
      set1.addVertex(set2.deleteVertex());
   //addToSet(vSet1, delFromSet(vSet2));
}
int findVertex(VSet *vertSetArr, int vert){
   //find the vertex in different vertex sets
   for(int i = 0; i<V; i++)
      for(int j = 0; j<=vertSetArr[i].n; j++)
         if(vert == vertSetArr[i].set[j])
   return i;//node found in i-th vertex set
}
int findEdge(edge *edgeList){
   //find the edges from the cost matrix of Graph and store to edgeList
   int count = -1, i, j;
   for(i = 0; i<V; i++)
      for(j = 0; j<i; j++)
   if(costMat[i][j] != INF){
      count++;
      //fill edge list for the position 'count'
      edgeList[count].u = i; edgeList[count].v = j;
      edgeList[count].cost = costMat[i][j];
   }
   return count+1;
}
void sortEdge(edge *edgeList, int n){
   //sort the edges of graph in ascending order of cost
   int flag = 1, i, j;
   for(i = 0; i<(n-1) && flag; i++){//modified bubble sort is used
      flag = 0;
      for(j = 0; j<(n-i-1); j++)
      if(edgeList[j].cost > edgeList[j+1].cost){
         swapping(edgeList[j], edgeList[j+1]);
         flag = 1;
      }
   }
}
void kruskal(Tree &tr){
   int ecount, maxEdge = V*(V-1)/2; //max n(n-1)/2 edges can have in a graph
   edge edgeList[maxEdge], ed;
   int uloc, vloc;
   VSet VSetArray[V];
   ecount = findEdge(edgeList);
   for(int i = 0; i < V; i++)
      VSetArray[i].addVertex(i);//each set contains one element
   sortEdge(edgeList, ecount); //ecount number of edges in the graph
   int count = 0;
   while(count <= V-1){
      ed = edgeList[count];
      uloc = findVertex(VSetArray, ed.u);
      vloc = findVertex(VSetArray, ed.v);
      if(uloc != vloc){ //check whether source abd dest is in same set or not
         merge(VSetArray[uloc], VSetArray[vloc]);
         tr.addEdge(ed);
      }
      count++;
   }
}
int main(){
   Tree tr;
   kruskal(tr);
   tr.printEdges();
}

आउटपुट

Edge: B--A And Cost: 1
Edge: E--B And Cost: 2
Edge: F--E And Cost: 2
Edge: C--A And Cost: 3
Edge: G--F And Cost: 3
Edge: D--A And Cost: 4
Total Cost: 15