एक निर्देशित ग्राफ में यूलर सर्किट

यूलर पथ एक पथ है, जिसके द्वारा हम प्रत्येक किनारे पर ठीक एक बार जा सकते हैं। हम एक ही कोने को कई बार इस्तेमाल कर सकते हैं। यूलर सर्किट एक विशेष प्रकार का यूलर पथ है। जब यूलर पथ का आरंभिक शीर्ष भी उस पथ के अंतिम शीर्ष से जुड़ जाता है, तो इसे यूलर परिपथ कहा जाता है।

यह जाँचने के लिए कि कोई ग्राफ़ यूलेरियन है या नहीं, हमें दो स्थितियों की जाँच करनी होगी -

• ग्राफ़ कनेक्ट होना चाहिए।
• प्रत्येक शीर्ष का इन-डिग्री और आउट-डिग्री समान होना चाहिए।

इनपुट और आउटपुट

Input:
Adjacency matrix of the graph.
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 1
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0

Output:
Euler Circuit Found.

एल्गोरिदम

ट्रैवर्स (यू, विज़िट किया गया)

इनपुट: प्रारंभ नोड u और विज़िट किए गए नोड को चिह्नित करने के लिए कि किस नोड का दौरा किया गया है।

आउटपुट: सभी जुड़े हुए शीर्षों को पार करें।

Begin
   mark u as visited
   for all vertex v, if it is adjacent with u, do
      if v is not visited, then
         traverse(v, visited)
   done
End

कनेक्टेड है(ग्राफ)

इनपुट - ग्राफ़।

आउटपुट - ग्राफ़ कनेक्ट होने पर सही है।

Begin
   define visited array
   for all vertices u in the graph, do
      make all nodes unvisited
      traverse(u, visited)
      if any unvisited node is still remaining, then
         return false
   done
   return true
End

isEulerCircuit(ग्राफ)

इनपुट: दिया गया ग्राफ़.

आउटपुट: सच है जब एक यूलर सर्किट पाया जाता है।

Begin
   if isConnected() is false, then
      return false
   define list for inward and outward edge count for each node

   for all vertex i in the graph, do
      sum := 0
      for all vertex j which are connected with i, do
         inward edges for vertex i increased
         increase sum
      done
      number of outward of vertex i is sum
   done

   if inward list and outward list are same, then
      return true
   otherwise return false
End

उदाहरण

#include<iostream>
#include<vector>
#define NODE 5
using namespace std;

int graph[NODE][NODE] = {
   {0, 1, 0, 0, 0},
   {0, 0, 1, 0, 0},
   {0, 0, 0, 1, 1},
   {1, 0, 0, 0, 0},
   {0, 0, 1, 0, 0}
};
               
void traverse(int u, bool visited[]) {
   visited[u] = true;    //mark v as visited

   for(int v = 0; v<NODE; v++) {
      if(graph[u][v]) {
         if(!visited[v])
            traverse(v, visited);
      }
   }
}

bool isConnected() {
   bool *vis = new bool[NODE];
   //for all vertex u as start point, check whether all nodes are visible or not

   for(int u; u < NODE; u++) {
      for(int i = 0; i<NODE; i++)
         vis[i] = false;    //initialize as no node is visited
               
      traverse(u, vis);
         
      for(int i = 0; i<NODE; i++) {
         if(!vis[i])    //if there is a node, not visited by traversal, graph is not connected
            return false;
      }
   }
   return true;
}

bool isEulerCircuit() {
   if(isConnected() == false) {    //when graph is not connected
      return false;
   }

   vector<int> inward(NODE, 0), outward(NODE, 0);
         
   for(int i = 0; i<NODE; i++) {
      int sum = 0;
      for(int j = 0; j<NODE; j++) {
         if(graph[i][j]) {
            inward[j]++;    //increase inward edge for destination vertex
            sum++;    //how many outward edge
         }
      }
      outward[i] = sum;
   }

   if(inward == outward)    //when number inward edges and outward edges for each node is same
      return true;
   return false;
}

int main() {
   if(isEulerCircuit())
      cout << "Euler Circuit Found.";
   else
      cout << "There is no Euler Circuit.";
}

आउटपुट

Euler Circuit Found.