सी/सी++ में सशर्त संभाव्यता के लिए बेयस प्रमेय

सशर्त संभावना P(A|B . द्वारा निरूपित ) एक घटना 'ए' के ​​घटित होने की प्रायिकता है, यह देखते हुए कि घटना 'बी' पहले ही हो चुकी है।

सशर्त संभावना के लिए सूत्र -

P(A|B) = P( A⋂B ) / P(B)

बेयस प्रमेय

यह वह सूत्र है जो परस्पर निर्भर घटनाओं के घटित होने की प्रायिकताओं के बीच संबंध को दर्शाता है अर्थात यह उनकी सशर्त प्रायिकताओं के बीच संबंध को दर्शाता है।

बेयस प्रमेय के अनुसार एक घटना ए और दूसरी घटना बी को देखते हुए,

P(A/B) ={P(B/A) * P(A)} / P(B)

आइए बेयस प्रमेय का सूत्र प्राप्त करें,

इसके लिए हम सशर्त संभाव्यता के सूत्र का उपयोग करेंगे,

P(A|B) = P( A?B ) / P(B) —— 1
P(B|A) = P( B?A ) / P(A) —— 2

हम जानते हैं कि A⋂B और B⋂A समान हैं, इसलिए हम B⋂A के मान को A⋂B समीकरण 2 से प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

P(B/A) = P(A⋂B) / P(A)
P(B/A) * P(A) = P(A⋂B) —- 3

अब, समीकरण 1 में A?B के लिए इस मान का उपयोग करते हुए, हम बेयस प्रमेय सूत्र प्राप्त करेंगे।

P(A/B) = {P(B/A) * P(A)} / P(B)

बेयस प्रमेय . के लिए कुछ व्युत्पत्तियां

उत्पाद नियम

समीकरण 3 में दर्शाया गया है, यह कहता है कि एक ही परीक्षण में दोनों घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता घटना की सशर्त प्रायिकता और साक्ष्य घटना के घटित होने की प्रायिकता के गुणनफल के बराबर होती है।

P(A?B) = P(A/B) * P(B)

इस नियम से हम दो महत्वपूर्ण सूत्र प्राप्त कर सकते हैं -

यदि A⊆B अर्थात A, B का उपसमुच्चय है जिसका अर्थ है कि समुच्चय A के सभी अवयव समुच्चय B में हैं, तो

P(A⋂B) = P(A), then P(A/B) = P(A) / P(B)

यदि B⊆A अर्थात B, A का उपसमुच्चय है, जिसका अर्थ है कि समुच्चय B के सभी अवयव समुच्चय A में हैं, तो

P(A⋂B) = P(B), then P(A/B) = 1

बेयस प्रमेय तीन से अधिक घटनाओं का निर्माण करता है -

यदि हमारे पास तीन परस्पर निर्भर घटनाएं अधिक हैं, तो उनकी सशर्त संभाव्यता का निम्नलिखित संबंध होगा,

P(X1/Y) = (P(X1)*P(Y/X1) / [P(X1 * P(Y/X1)) + P(X2 * P(Y/X2)) + P(X3 * P(Y/X3)) + …]