बर्ट्रेंड के मूल पेपर में, वह एक सामान्य फॉर्मूला पर निर्भर एक प्रूफ बताते हैं जो अनुकूल अनुक्रमों की संख्या के लिए रिकर्सन रिलेशन लागू करता है।
उदाहरण
मान लीजिए 5 वोटर हैं, जिनमें से 3 कैंडिडेट A के लिए वोट करते हैं और 2 कैंडिडेट B के लिए वोट करते हैं (तो p = 3 और q = 2)। वोट डाले जाने के क्रम के लिए दस संभावनाएं मौजूद हैं -
AAABB
AABAB
ABAAB
BAAAB
AABBA
ABABA
BAABA
ABBAA
BABAA
BBAAA
क्रम AABAB के लिए, चुनाव के 진행 के रूप में वोटों का टैली नीचे दिया गया है -
| उम्मीदवार | A | A | B | A | B |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 |
| B | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 |
प्रत्येक कॉलम के लिए A का टैली हमेशा B के टैली से अधिक होता है इसलिए A हमेशा B से सख्ती से आगे रहता है। क्रम AABBA के लिए, चुनाव के प्रगति के रूप में वोटों का टैली नीचे दिया गया है -
| उम्मीदवार | A | A | B | B | A |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 |
| B | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 |
इस क्रम के संबंध में, चौथे वोट के बाद B, A के साथ बराबरी पर है, इसलिए A हमेशा B से सख्ती से आगे नहीं है। 10 संभावित क्रमों में से, A केवल AAABB और AABAB के मामले में हमेशा B से आगे है। तो संभावना कि A हमेशा सख्ती से आगे रहेगा 2/10=1/5 है और यह वास्तव में 3-2 / 3+2 के बराबर है जैसा कि थ्योरम भविष्यवाणी करता है।
