Python में रैखिक मैट्रिक्स समीकरण या स्केलर समीकरण प्रणाली हल करें

NumPy का numpy.linalg.solve() फंक्शन रैखिक मैट्रिक्स समीकरण Ax = b का "सटीक" समाधान निकालता है, जहां A गुणांक मैट्रिक्स है और b आश्रित वेरिएबल वेक्टर है।

सिंटैक्स

numpy.linalg.solve(a, b)

• a: गुणांक मैट्रिक्स, आकार (N, N) — वर्ग और फुल रैंक होना चाहिए।
• b: दायां-पक्ष वेक्टर/मैट्रिक्स, आकार (N,) या (N, K)।
• वापसी: समाधान x, आकार b के समान।
• एक्सेप्शन: सिंगुलर मैट्रिक्स के लिए LinAlgError।

उदाहरण: 2×2 सिस्टम

import numpy as np

# समीकरण प्रणाली:
# x0 + 2*x1 = 1
# 3*x0 + 5*x1 = 2

# गुणांक मैट्रिक्स
arr1 = np.array([[1, 2], [3, 5]])

# दायां-पक्ष वेक्टर
arr2 = np.array([1, 2])

print("गुणांक मैट्रिक्स A:\n", arr1)
print("\nRHS वेक्टर b:", arr2)
print("A डायमेंशन्स:", arr1.ndim)
print("b डायमेंशन्स:", arr2.ndim)
print("A आकार:", arr1.shape)
print("b आकार:", arr2.shape)

# हल करें
x = np.linalg.solve(arr1, arr2)
print("\nसमाधान x:", x)

# सत्यापन: A @ x ≈ b
print("सत्यापन A @ x:", arr1 @ x)
print("मूल b:", arr2)

आउटपुट

गुणांक मैट्रिक्स A:
 [[1 2]
 [3 5]]
RHS वेक्टर b: [1 2]
A डायमेंशन्स: 2
b डायमेंशन्स: 1
A आकार: (2, 2)
b आकार: (2,)
समाधान x: [-1.  1.]
सत्यापन A @ x: [1. 2.]
मूल b: [1 2]

गणना विवरण

समीकरण:

x0 + 2x1 = 1
3x0 + 5x1 = 2

पहले से 3 गुना घटाएं: (3x0 + 6x1) - (3x0 + 5x1) = 3 - 2 → x1 = 1
प्रतिस्थापित करें: x0 + 2(1) = 1 → x0 = -1
समाधान: x = [-1, 1] ✓

solve() बनाम inv() — solve() क्यों बेहतर?

बहु-RHS (कई b वेक्टर्स)

# b आकार (N, K) - K अलग-अलग RHS
b_multi = np.array([[1, 2], [2, 3], [1, 0]]).T  # आकार (2, 3)
x_multi = np.linalg.solve(arr1, b_multi)
print("बहु-RHS समाधान:\n", x_multi)
# प्रत्येक कॉलम एक अलग b के लिए समाधान

त्रुटि हैंडलिंग

# सिंगुलर मैट्रिक्स
A_singular = np.array([[1, 2], [2, 4]])
b = np.array([1, 2])

try:
    np.linalg.solve(A_singular, b)
except np.linalg.LinAlgError as e:
    print("एरर:", e)  # Singular matrix

# ऐसे मामलों के लिए lstsq या pinv उपयोग करें
x_lstsq = np.linalg.lstsq(A_singular, b, rcond=None)[0]
print("लीस्ट स्क्वेयर्स समाधान:", x_lstsq)

उपयोग के मामले

• इंजीनियरिंग में रैखिक सिस्टम हल करना।
• कंप्यूटर ग्राफिक्स में ट्रांसफॉर्मेशन।
• अर्थशास्त्र में इनपुट-आउटपुट मॉडल।
• सर्किट विश्लेषण (किरचॉफ के नियम)।
• मशीन लर्निंग में नॉर्मल इक्वेशन्स (हालांकि रिज रिग्रेशन बेहतर)।