सूचना सुरक्षा में मॉड्यूलर अंकगणित क्या है?

मॉड्यूलर अंकगणित पूर्णांकों के लिए अंकगणित की एक संरचना है, जहां संख्याएं एक विशिष्ट मान तक पहुंचने पर "चारों ओर लपेटती हैं"। मॉड्यूलर अंकगणित हमें केवल समूह, अंगूठियां और फ़ील्ड बनाने में सक्षम बनाता है जो कि अधिकांश आधुनिक सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोसिस्टम का मूल निर्माण टुकड़ा है।

उदाहरण के लिए, डिफी-हेलमैन को पूर्णांकों के गुणक समूह की आवश्यकता होती है, जो एक प्रमुख पीपी है। विभिन्न समूह हैं जो काम कर सकते हैं। मॉड्यूलर या घड़ी अंकगणित एक संख्या रेखा मॉड्यूलो एन के बजाय एक सर्कल पर अंकगणित है, यह 0 से एन -1 तक केवल बारह पूर्ण संख्याओं का उपयोग कर सकता है।

कई बुनियादी कार्यों के लिए एल्गोरिदम की विधि में मॉड्यूलर अंकगणित बहुत अच्छी तरह से समझा जाता है। यही एक कारण है कि यह सममित कुंजी क्रिप्टोग्राफी में परिमित क्षेत्रों (एईएस) का उपयोग कर सकता है। क्रिप्टोग्राफी को जटिल समस्याओं की आवश्यकता थी। मॉड्यूलर अंकगणित के साथ कुछ समस्याएं कठिन हो जाती हैं।

उदाहरण के लिए, लघुगणक केवल सभी पूर्णांकों की गणना करने के लिए होते हैं, लेकिन जब यह एक मॉड्यूलर कमी पेश कर सकता है तो गणना करना कठिन हो सकता है। इसी तरह जड़ों की खोज के साथ। क्रिप्टोग्राफी में मॉड-अंकगणित केंद्रीय गणितीय शब्द है।

अधिकांश आधुनिक संख्या सिद्धांत और कुछ व्यावहारिक समस्याएं मॉड्यूलर अंकगणित से संबंधित हैं। अंकगणितीय मोडुलो एन में, यह पूर्णांकों पर अंकगणित से संबंधित है, जहां यह उन सभी संख्याओं को पहचान सकता है जो एन के एक थोपने वाले गुणक द्वारा भिन्न होते हैं। अर्थात,

x=y mod N अगर x =y +mN कुछ पूर्णांक m के लिए।

यह मान्यता सभी पूर्णांकों को N समान वर्गों में विभाजित करती है। यह आमतौर पर इन्हें उनके सबसे सरल सदस्यों द्वारा इंगित किया जा सकता है जो कि संख्या 0, 1, ….N-1 है।

यदि a एक पूर्णांक है और n एक धनात्मक पूर्णांक है, तो एक mod ​​n को शेषफल के रूप में निरूपित करें जब a को n से विभाजित किया जाए। फिर $\mathrm{a\, =\, \left \lfloor a/n\right \rfloor\, x\, n\, +\, \left (a\, mod\, n \right);}$

उदाहरण - 11 मॉड 7 =4

प्रमेय - n पूर्णांकों पर एक तुल्यता संबंध है। एक तुल्यता वर्ग में वे पूर्णांक शामिल होते हैं जिनका n से भाग देने पर बराबर शेष रहता है। तुल्यता वर्गों को एक सर्वांगसमता वर्ग मोडुलो n भी कहा जाता है। कहने के बजाय पूर्णांक a और b समतुल्य हैं और यह कहा जा सकता है कि वे सर्वांगसम मॉड्यूल n हैं।

मॉडुलो n के सर्वांगसम सभी पूर्णांकों के समुच्चय को अवशेष वर्ग [a] कहा जाता है।

मॉड्यूलो ऑपरेटर में निम्नलिखित गुण होते हैं -

• a ≡ b mod n अगर n|(a - b).

• (a mod n) =(b mod n) का अर्थ है a b mod n।

• a ≡ b mod n का अर्थ है b a mod n।

• a b mod n और b ≡ c mod n मतलब a c mod n।

मॉड्यूलर अंकगणितीय संक्रियाओं के गुण

• [(ए मॉड एन) + (बी मॉड एन)] मॉड एन =(ए + बी) मॉड एन

• [(ए मॉड एन) - (बी मॉड एन)] मॉड एन =(ए - बी) मॉड एन

• [(ए मॉड एन) एक्स (बी मॉड एन)] मॉड एन =(ए एक्स बी) मॉड एन

मान लीजिए Zn ={0, 1, 2,… (n-1)}, अवशिष्ट मापांक n का समुच्चय है।