मॉड्यूलर अंकगणित पूर्णांकों के लिए अंकगणित की एक प्रणाली है, जहां संख्याएं एक विशिष्ट मान तक पहुंचने पर "चारों ओर लपेटती हैं"। मॉड्यूलर अंकगणित हमें समूह, रिंग और फील्ड बनाने में सक्षम बनाता है जो अधिकांश आधुनिक सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोसिस्टम के बुनियादी निर्माण खंड हैं।
उदाहरण के लिए, डिफी-हेलमैन को एक अभाज्य pp के मॉड्यूलो पूर्णांकों के गुणात्मक समूह की आवश्यकता होती है। अलग-अलग समूह हैं जो काम कर सकते हैं। मॉड्यूलर या घड़ी अंकगणित एक संख्या रेखा के बजाय एक वृत्त पर अंकगणित है मॉड्यूलो N, यह 0 से N-1 तक केवल बारह पूर्ण संख्याओं का उपयोग कर सकता है।
मॉड्यूलर अंकगणित कई बुनियादी संचालन के लिए एल्गोरिदम के संदर्भ में बहुत अच्छी तरह से समझा जाता है। यही एक कारण है कि यह सममित कुंजी क्रिप्टोग्राफी में परिमित क्षेत्रों (AES) का उपयोग कर सकता है। क्रिप्टोग्राफी को जटिल समस्याओं की आवश्यकता होती है। कुछ समस्याएं मॉड्यूलर अंकगणित पेश करने पर कठिन हो जाती हैं।
उदाहरण के लिए, लघुगणक सभी पूर्णांकों पर गणना करना आसान है लेकिन मॉड्यूलर कमी पेश करने पर गणना करना कठिन हो सकता है। इसी तरह जड़ें खोजने के साथ। मॉड-अंकगणित क्रिप्टोग्राफी में केंद्रीय गणितीय अवधारणा है।
आधुनिक संख्या सिद्धांत का अधिकांश और कुछ व्यावहारिक समस्याएं मॉड्यूलर अंकगणित से संबंधित हैं। N मॉड्यूलो अंकगणित में, यह पूर्णांकों पर अंकगणित से संबंधित है, जहां यह उन सभी संख्याओं को पहचानता है जो N के एक आरोपित गुणक द्वारा भिन्न होती हैं। वह है,
x = y mod N यदि x = y + mN किसी पूर्णांक m के लिए।
यह पहचान सभी पूर्णांकों को N समान वर्गों में विभाजित करती है। आमतौर पर इन्हें उनके सरलतम सदस्यों द्वारा दर्शाया जाता है जो संख्या 0, 1, ... N-1 हैं।
यदि a एक पूर्णांक है और n एक धनात्मक पूर्णांक है, तो a mod n को उस शेष के रूप में दर्शाता है जब a को n से विभाजित किया जाता है। तब $\mathrm{a\, =\, \left \lfloor a/n\right \rfloor\, x\, n\, +\, \left ( a\, mod\, n \right );}$
उदाहरण - 11 mod 7 = 4
प्रमेय - n पूर्णांकों पर एक समतुल्यता संबंध है। एक समतुल्यता वर्ग में वे पूर्णांक शामिल होते हैं जिनका n से विभाजन पर समान शेष होता है। समतुल्यता वर्गों को मॉड्यूलो n सर्वांगसमता वर्ग भी कहा जाता है। पूर्णांकों a और b के समतुल्य होने के बजाय यह कहा जा सकता है कि वे मॉड्यूलो n सर्वांगसम हैं।
a मॉड्यूलो n सर्वांगसम सभी पूर्णांकों का समुच्चय अवशेष वर्ग [a] कहलाता है।
मॉड्यूलो ऑपरेटर के निम्नलिखित गुण हैं:
a ≡ b mod n यदि n|(a - b)।
(a mod n) = (b mod n) का तात्पर्य a ≡ b mod n है।
a ≡ b mod n का तात्पर्य b ≡ a mod n है।
a ≡ b mod n और b ≡ c mod n का तात्पर्य a ≡ c mod n है।
मॉड्यूलर अंकगणित संचालन के गुण
[(a mod n) + (b mod n)] mod n = (a + b) mod n
[(a mod n) - (b mod n)] mod n = (a - b) mod n
[(a mod n) x (b mod n)] mod n = (a x b) mod n
मान लें Zₙ = {0, 1, 2,... (n-1)}, अवशेषों का समुच्चय मॉड्यूलस n है।
| गुण | अभिव्यक्ति |
|---|---|
| क्रमविनिमेय नियम | (w + x) mod n = (x + w) mod n |
| साहचर्य नियम | (w x x) mod n = (x x w) mod n |
| [(w + x)+y] mod n = [w+(x+y)] mod n | |
| वितरण नियम | [(w x x) x y] mod n = [w x (x x y)] mod n |
| पहचान | [(w x (x + y)] mod n =[(w x x) + (w x y)] mod n |
| (0 + w) mod n = w mod n | |
| योज्य व्युत्क्रम (-w) | (1 x w) mod n = w mod n |
| प्रत्येक w ∈ Zₙ के लिए, एक z मौजूद है जैसे कि w + z ≡ 0 mod n |
