समूह, वलय और क्षेत्र गणित की एक शाखा के महत्वपूर्ण तत्व हैं जिन्हें अमूर्त बीजगणित या आधुनिक बीजगणित कहा जाता है। अमूर्त बीजगणित में, इसका संबंध उन समुच्चयों से है जिनके तत्वों पर यह बीजगणितीय रूप से कार्य कर सकता है; अर्थात्, यह सेट के दो तत्वों को जोड़ सकता है, शायद कई तरीकों से, और यह सेट का तीसरा तत्व प्राप्त कर सकता है।
समूह
एक समूह (G) को {G,∙} द्वारा दर्शाया जाता है। यह बाइनरी ऑपरेशन वाले तत्वों का एक समूह है जो चार गुणों को संतुष्ट करता है। समूह के गुण इस प्रकार हैं -
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बंद - यदि a और b, G के अवयव हैं, तो c =a ∙ b भी समुच्चय G का एक अवयव है। यह परिभाषित कर सकता है कि समुच्चय में किन्हीं दो तत्वों पर संक्रियाओं का उपयोग करने का परिणाम समुच्चय का एक अन्य अवयव है। पी>
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सहयोगिता - यदि ए, बी, और सी जी के तत्व हैं, इसलिए (ए ∙ बी) ∙ सी =ए (बी ∙ सी), इसका मतलब यह नहीं है कि यह किस क्रम में दो से अधिक तत्वों पर संचालन का उपयोग कर सकता है।
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पहचान - G में सभी a के लिए, G में एक तत्व e होता है, जिसमें e a =a ∙ e =a शामिल होता है।
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उलटा − G में प्रत्येक a के लिए, एक अवयव a होता है जिसे a का व्युत्क्रम कहा जाता है जैसे कि a a′ =a′ a =e.
एक समूह एक एबेलियन समूह है यदि यह निम्नलिखित चार गुणों को कम्यूटेटिविटी की एक अतिरिक्त संपत्ति से संतुष्ट करता है।
कम्यूटेटिविटी − G में सभी a और b के लिए, हमारे पास a b =b ∙ a है।
अंगूठी - एक वलय R को {R, +, x} द्वारा दर्शाया जाता है। यह दो बाइनरी ऑपरेशन वाले तत्वों का एक सेट है, जिसे जोड़ और गुणा के रूप में जाना जाता है, जिसमें आर में सभी ए, बी, सी शामिल हैं, निम्नलिखित स्वयंसिद्ध रखे गए हैं -
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आर जोड़ के संबंध में एक एबेलियन समूह है जो आर ए 1 से ए 5 के गुणों को संतुष्ट करता है। योगात्मक समूह की विधि में, यह पहचान तत्वों को 0 के रूप में और a के व्युत्क्रम को - a के रूप में इंगित करता है।
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(M1):गुणन के तहत समापन - यदि और b, R से संबंधित हैं, तो ab भी R में है।
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(M2):गुणन की साहचर्यता − a(bc)=(ab)c सभी के लिए a, b, c in R.
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(M3):वितरण कानून -
a(b+c)=ab + ac सभी के लिए a, b, c in R
(a+b)c=ac+bc सभी के लिए a, b, c in R
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(M4):गुणन का क्रमविनिमेय − ab=ba सभी के लिए a, b in R.
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(M5):गुणक पहचान - R में एक अवयव 1 है, जिसमें R में सभी a के लिए a1=1a शामिल है।
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(M6):कोई शून्य भाजक नहीं - अगर आर में ए, बी और एबी =0, इसलिए ए =0 या बी =0।
फ़ील्ड - एक फ़ील्ड F को {F, +, x} द्वारा दर्शाया जाता है। यह दो द्विआधारी संक्रियाओं के साथ तत्वों का एक समूह है जिसे जोड़ और गुणा के रूप में जाना जाता है, जिसमें सभी a, b, c के लिए F में निम्नलिखित स्वयंसिद्ध रखे गए हैं -
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F1 एक पूर्णांक डोमेन है जो F है जो A1 से A5 और M1 से M6 तक अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है।
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(M7):गुणन प्रतिलोम − F में प्रत्येक a के लिए, 0 को छोड़कर, एक तत्व होता है a −1 एफ में ऐसा है कि आ −1 =(ए −1 )a=1.
