समूह, रिंग, और फील्ड अमूर्त बीजगणित या आधुनिक बीजगणित कहलाने वाली गणित की एक शाखा के महत्वपूर्ण तत्व हैं। अमूर्त बीजगणित में, यह उन समुच्चयों से संबंधित है जिनके तत्वों पर यह बीजगणितीय रूप से संचालित कर सकता है; यानी, यह समुच्चय के दो तत्वों को जोड़ सकता है, शायद कई तरीकों से, और समुच्चय का तीसरा तत्व प्राप्त कर सकता है।
समूह
एक समूह (G) को {G,∙} द्वारा दर्शाया जाता है। यह एक द्विआधारी संक्रिया ' ∙ ' वाले तत्वों का समूह है जो चार गुणों को संतुष्ट करता है। समूह के गुण निम्नलिखित हैं:
संपूर्णता (Closure) - यदि a और b G के तत्व हैं, इसलिए c = a ∙ b भी समुच्चय G का एक तत्व है। इसका मतलब है कि समुच्चय में किन्हीं दो तत्वों पर संक्रियाओं का उपयोग करने का परिणाम समुच्चय में एक और तत्व है।
साहचर्य (Associativity) - यदि a, b, और c G के तत्व हैं, इसलिए (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c), इसका मतलब है कि यह पदार्थ नहीं करता कि यह दो से अधिक तत्वों पर संक्रियाओं का उपयोग किस क्रम में करता है।
पहचान (Identity) - G में सभी a के लिए, G में एक तत्व e मौजूद है जिसमें e ∙ a = a ∙ e = a।
व्युत्क्रम (Inverse) - G में प्रत्येक a के लिए, a' नामक एक तत्व मौजूद है जिसे a के व्युत्क्रम के रूप में जाना जाता है जैसे कि a ∙ a' = a' ∙ a = e।
एक समूह एक एबेलियन समूह है यदि यह निम्नलिखित चार गुणों के अलावा क्रमविनिमेयता के एक अतिरिक्त गुण को संतुष्ट करता है।
क्रमविनिमेयता (Commutativity) - G में सभी a और b के लिए, हमारे पास a ∙ b = b ∙ a है।
रिंग
एक रिंग R को {R, +, x} द्वारा दर्शाया जाता है। यह दो द्विआधारी संक्रियाओं वाले तत्वों का एक समुच्चय है, जिन्हें जोड़ और गुणन के रूप में जाना जाता है, जिसमें सभी a, b, c in R के लिए निम्नलिखित स्वयंसिद्ध रखे जाते हैं:
R जोड़ के संबंध में एक एबेलियन समूह है यानी R गुण A1 से A5 को संतुष्ट करता है। योजक समूह की विधि में, यह पहचान तत्व को 0 और a के व्युत्क्रम को -a के रूप में इंगित करता है।
(M1): गुणन के तहत संपूर्णता - यदि a और b R से संबंधित हैं, तो ab भी R में है।
(M2): गुणन की साहचर्यता - सभी a, b, c in R के लिए a(bc)=(ab)c।
(M3): वितरण नियम -
a(b+c)=ab + ac सभी a, b, c in R के लिए
(a+b)c=ac+bc सभी a, b, c in R के लिए
(M4): गुणन की क्रमविनिमेयता - सभी a, b in R के लिए ab=ba।
(M5): गुणात्मक पहचान - R में एक तत्व 1 है जिसमें सभी a in R के लिए a1=1a।
(M6): शून्य भाजक नहीं - यदि a, b in R और ab = 0, इसलिए a = 0 या b = 0।
फील्ड - एक फील्ड F को {F, +, x} द्वारा दर्शाया जाता है। यह दो द्विआधारी संक्रियाओं वाले तत्वों का एक समुच्चय है जिन्हें जोड़ और गुणन के रूप में जाना जाता है, जिसमें सभी a, b, c in F के लिए निम्नलिखित स्वयंसिद्ध रखे जाते हैं:
F1 एक पूर्णांक डोमेन है यानी F स्वयंसिद्ध A1 से A5 और M1 से M6 को संतुष्ट करता है।
(M7): गुणात्मक व्युत्क्रम - F में प्रत्येक a के लिए, 0 को छोड़कर, F में एक तत्व a⁻¹ है जैसे कि aa⁻¹ = (a⁻¹)a=1।
