इस समस्या में, हमें एक अभाज्य संख्या N दिया जाता है। हमारा कार्य अभाज्य संख्या N modulo N के आदिम मूल को प्रिंट करना है।
आदिम जड़ अभाज्य संख्या N का एक पूर्णांक x है जो [1, n-1] के बीच स्थित है, जैसे कि xk (mod n) के सभी मान जहां k [0, n-2] में स्थित है, अद्वितीय हैं।
समस्या को समझने के लिए एक उदाहरण लेते हैं,
Input: 13 Output: 2
इस समस्या को हल करने के लिए, हमें यूलर के टोटिएंट फ़ंक्शन . नामक गणितीय फ़ंक्शन का उपयोग करना होगा ।
यूलर का टोटिएंट फंक्शन 1 से n तक की संख्याओं की संख्या है जो संख्या n से अपेक्षाकृत अभाज्य हैं।
यदि GCD (i, n) =1.
. है तो एक संख्या i अपेक्षाकृत अभाज्य हैसमाधान में, यदि x modulo n का गुणन क्रम यूलर के टोटिएंट फ़ंक्शन के बराबर है, तो संख्या आदिम मूल है अन्यथा नहीं। हम सभी सापेक्ष अभाज्य संख्याओं की जांच करेंगे।
नोट:एक अभाज्य संख्या का यूलर का योगफल कार्य n=n-1
नीचे दिया गया कोड हमारे समाधान के कार्यान्वयन को दिखाएगा,
उदाहरण
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool isPrimeNumber(int n) {
if (n <= 1) return false;
if (n <= 3) return true;
if (n%2 == 0 || n%3 == 0) return false;
for (int i=5; i*i<=n; i=i+6)
if (n%i == 0 || n%(i+2) == 0)
return false;
return true;
}
int power(int x, unsigned int y, int p) {
int res = 1;
x = x % p;
while (y > 0){
if (y & 1)
res = (res*x) % p;
y = y >> 1;
x = (x*x) % p;
}
return res;
}
void GeneratePrimes(unordered_set<int> &s, int n) {
while (n%2 == 0){
s.insert(2);
n = n/2;
}
for (int i = 3; i <= sqrt(n); i = i+2){
while (n%i == 0){
s.insert(i);
n = n/i;
}
}
if (n > 2)
s.insert(n);
}
int findPrimitiveRoot(int n) {
unordered_set<int> s;
if (isPrimeNumber(n)==false)
return -1;
int ETF = n-1;
GeneratePrimes(s, ETF);
for (int r=2; r<=ETF; r++){
bool flag = false;
for (auto it = s.begin(); it != s.end(); it++){
if (power(r, ETF/(*it), n) == 1){
flag = true;
break;
}
}
if (flag == false)
return r;
}
return -1;
}
int main() {
int n= 13;
cout<<" Smallest primitive root of "<<n<<" is "<<findPrimitiveRoot(n);
return 0;
} आउटपुट
Smallest primitive root of 13 is 2