गणित में, एक मॉड्यूलर समीकरण moduli . द्वारा संतुष्ट एक बीजीय समीकरण है , मोडुलि समस्या के अर्थ में। यानी, मोडुलि स्पेस पर कई फ़ंक्शन दिए गए हैं, एक मॉड्यूलर समीकरण उनके बीच एक समीकरण है, या दूसरे शब्दों में मॉड्यूल के लिए एक पहचान है।
मॉड्यूलर समीकरण . शब्द का सर्वाधिक उपयोग अंडाकार वक्रों के लिए मॉड्यूल समस्याओं के संबंध में है। उस स्थिति में, मॉड्यूल स्पेस स्वयं आयाम एक का होता है। इसका तात्पर्य है कि कोई भी दो परिमेय फलन F और जी , मॉड्यूलर वक्र के कार्य क्षेत्र में, एक मॉड्यूलर समीकरण को संतुष्ट करेगा P(F, G) =0 पी . के साथ सम्मिश्र संख्याओं पर दो चरों वाला एक शून्येतर बहुपद। F और G . के उपयुक्त गैर-पतित विकल्प के लिए , समीकरण P(X,Y) =0 वास्तव में मॉड्यूलर वक्र को परिभाषित करेगा।
आपने अभी-अभी फ़ॉर्म की एक अजीब तरह की गणितीय अभिव्यक्ति देखी है
बी (एक मॉड एक्स)
यह कहता है कि B, A मॉड्यूलो X के सर्वांगसम है। आइए एक उदाहरण लेते हैं,
21 5(मोड 4)
एक प्रतीक equiv का अर्थ है "समतुल्यता"। उपरोक्त समीकरण में 21 और 5 तुल्य हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि 21 मोडुलो 4 =1, 5 मोडुलो 4 =1 के बराबर है। एक अन्य उदाहरण 51 16 (मॉड 7)
है।इस समस्या में, हमारे पास दो पूर्णांक a और b हैं और हमें उन संभावित मानों की संख्या ज्ञात करनी है जो मॉड्यूलर समीकरण (A mod X)=B का अनुसरण करते हैं जहां मॉड्यूलर समीकरण का X समाधान है।
उदाहरण के लिए
Input: A = 26, B = 2 Output: X can take 6 values
स्पष्टीकरण
X किसी भी {3, 4, 6, 8, 12, 24} के बराबर हो सकता है क्योंकि A मापांक इनमें से कोई भी मान 2 i के बराबर होता है। ई., (26 mod 3) =(26 mod 4) =(26 mod 6) =(26 mod 8) =.... =2
हमारे पास समीकरण ए मॉड एक्स =बी है
शर्तें
अगर (ए =बी) तो अनंत कई मान होंगे जहां ए हमेशा एक्स से बड़ा होगा।
अगर (ए <बी) तो संभव नहीं है कि एक्स मॉड्यूलर समीकरण धारण कर सके।
अब केवल आखिरी मामला बचा है कि (A> B).
अब, इस मामले में, हम संबंध का उपयोग करेंगे
लाभांश =भाजक * भागफल + शेष
X यानी भाजक दिए गए A यानी डिविडेंड और B यानी शेष।
अब
ए =एक्स * भागफल + बी
मान लीजिए भागफल को Y के रूप में दर्शाया जाता है
∴ ए =एक्स * वाई + बी
ए - बी =एक्स * वाई
∴ Y का अभिन्न मान प्राप्त करने के लिए,
हमें सभी एक्स को इस तरह लेने की जरूरत है कि एक्स विभाजित हो (ए - बी)
∴ X, (A - B) का भाजक है
(ए - बी) के भाजक ढूँढना मुख्य समस्या है और ऐसे भाजक की संख्या संभावित मान है जो एक्स ले सकता है।
हम जानते हैं कि एक मॉड एक्स समाधान मान (0 से एक्स -1 तक) होंगे, ऐसे सभी एक्स को लें जैसे कि एक्स> बी।
इस तरह हम यह कहकर निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि (ए - बी) के भाजक बी से अधिक हैं, सभी संभावित मानों के साथ एक्स जो ए मॉड एक्स =बी को संतुष्ट कर सकते हैं
उदाहरण
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int Divisors(int A, int B) {
int N = (A - B);
int D = 0;
for (int i = 1; i <= sqrt(N); i++) {
if ((N % i) == 0) {
if (i > B)
D++;
if ((N / i) != i && (N / i) > B)
D++;
}
}
return D;
}
int PossibleWaysUtil(int A, int B) {
if (A == B)
return -1;
if (A < B)
return 0;
int D = 0;
D = Divisors(A, B);
return D;
}
int main() {
int A = 26, B = 2;
int Sol = PossibleWaysUtil(A, B);
if (Sol == -1) {
cout <<" X can take Infinitely many values greater than " << A << "\n";
} else {
cout << " X can take " << Sol << " values\n";
return 0;
}
}