C++ में अधिकतम 'd' अंकों वाली उन धनात्मक पूर्णांकों की गिनती जिनमें 0 अंक हो

हमें एक संख्या d दी गई है जो अंकों की संख्या दर्शाती है। लक्ष्य उन धनात्मक पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करना है जिनमें 0 अंक हो और जिनमें अधिकतम d अंक हों। 1 अंक, 2 अंक, 3 अंक... d अंक वाली उन सभी धनात्मक संख्याओं की गिनती करें जिनमें कम से कम एक 0 हो।

सबसे पहले हम उन संख्याओं की गिनती ज्ञात करेंगे जिनमें d अंक हों और कम से कम एक 0 हो। मान लीजिए d=3। कम से कम एक 0 वाली 3-अंकीय संख्या बनाने के संभावित तरीके हैं:

C++ में अधिकतम d अंकों वाली उन धनात्मक पूर्णांकों की गिनती जिनमें 0 अंक हो

यहाँ d1 में 1 से 9 तक: 9 तरीके
d2 में 0-9 तक: 10 तरीके
d3 में 0-9 तक: 10 तरीके
कुल संभावित संख्याएँ: 9 × 10 × 10 = 9 × 10²
d अंकों के लिए, संख्याओं की गिनती: 9 × 10^(d-1)
d अंकों के लिए, बिना किसी 0 वाली संख्याएँ: 9^d
कम से कम एक 0 वाली d-अंकीय संख्याओं का कुल योग = 9 × 10^(d-1) - 9^d = 9 × (10^(d-1) - 9^(d-1))

उदाहरण सहित समझ

इनपुट - d=4

आउटपुट - अधिकतम 'd' अंकों वाली उन धनात्मक पूर्णांकों की संख्या जिनमें 0 अंक हो: 2619

व्याख्या - कम से कम एक 0 वाली x अंकों की संख्याएँ:

1 अंक वाली संख्याएँ: 0
2 अंक वाली संख्याएँ: 9
3 अंक वाली संख्याएँ: 171
4 अंक वाली संख्याएँ: 2439
कुल = 9 + 171 + 2439 = 2619

इनपुट - d=1

आउटपुट - अधिकतम 'd' अंकों वाली उन धनात्मक पूर्णांकों की संख्या जिनमें 0 अंक हो: 0

व्याख्या - 1 से 9 तक कोई संख्या 0 अंक नहीं रखती।

प्रोग्राम में उपयोग किया गया दृष्टिकोण

सामान्य दृष्टिकोण (Naive Approach)

हम दो दृष्टिकोणों का उपयोग करेंगे। पहला सामान्य दृष्टिकोण एक फॉर लूप का उपयोग करता है। 1 अंक से d अंक तक ट्रैवर्स करें और उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके संख्याओं की गणना करें। लौटाए गए मान को काउंट में जोड़ें।

अंकों के लिए पूर्णांक d लें।
फंक्शन total_count(int d) अंकों की संख्या d लेता है और कम से कम एक 0 वाली d अंकों की संख्याओं की गिनती लौटाता है।
ऐसी संख्याओं की गणना करें: temp = 9 * (pow(10, d-1) - pow(9, d-1))।
temp लौटाएँ।
फंक्शन maximum_d(int d) अधिकतम अंकों की संख्या d लेता है और d अंकों तक कम से कम एक 0 वाली संख्याओं की गिनती लौटाता है।
1 अंक की संख्याओं से शुरू करके लूप का उपयोग करके ट्रैवर्स करें, फिर 2 और इसी तरह d तक।
प्रत्येक d के लिए संख्याओं की गणना total_count(i) के रूप में करें। इसे काउंट में जोड़ें।
अंत में कुल गिनती प्राप्त होगी।
परिणाम के रूप में काउंट लौटाएँ।

कुशल दृष्टिकोण (Efficient Approach)

इस दृष्टिकोण में, हम उपरोक्त गणनाओं के लिए बने G.P. (ज्यामितीय श्रेणी) को देखकर गिनती की गणना करेंगे।

हल है: 9 × (10^(d-1) - 9^(d-1)) = 9 × (10^d - 1) - 9 × (9^d - 1)
= 9 × (10^i - 1) - 9 × (9^i - 1) (1 ≤ i ≤ d)
= G.P.¹ - G.P.²
= 9×(10^d-1)/(10-1) - 9×(9^d-1)/(9-1)
= (10^d - 1) - (9/8)×(9^d - 1)

अधिकतम अंकों की संख्या के रूप में d लें।
फंक्शन maximum_d(int d) अधिकतम अंकों की संख्या d लेता है और d अंकों तक कम से कम एक 0 वाली संख्याओं की गिनती लौटाता है।
उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके temp_1 की गणना करें: 9 * ((pow(10, d) - 1) / 9)।
temp_2 की गणना करें: 9 * ((pow(9, d) - 1) / 8)।
count = temp_1 - temp_2 सेट करें।
परिणाम के रूप में काउंट लौटाएँ।

उदाहरण (सामान्य दृष्टिकोण)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int total_count(int d) {
    int temp = 9 * (pow(10, d-1) - pow(9, d-1));
    return temp;
}

int maximum_d(int d) {
    int count = 0;
    for (int i = 1; i <= d; i++) {
        count = count + total_count(i);
    }
    return count;
}

int main() {
    int d = 5;
    cout << "Count of positive integers with 0 as a digit and maximum 'd' digits are: " << maximum_d(d) << endl;
    return 0;
}

आउटपुट

Count of positive integers with 0 as a digit and maximum 'd' digits are: 33570

उदाहरण (कुशल दृष्टिकोण)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int maximum_d(int d) {
    int temp_1 = 9 * ((pow(10, d) - 1) / 9);
    int temp_2 = 9 * ((pow(9, d) - 1) / 8);
    int count = temp_1 - temp_2;
    return count;
}

int main() {
    int d = 4;
    cout << "Count of positive integers with 0 as a digit and maximum 'd' digits are: " << maximum_d(d) << endl;
    return 0;
}

आउटपुट

Count of positive integers with 0 as a digit and maximum 'd' digits are: 2619